NUMEROS COMPLEXOS

INTRODUÇÃO AOS NUMEROS COMPLEXOS

INTRODUÇÃO AOS Nº COMPLEXOS: Resolver a equação transcrita:

A equação encontra-se na forma característica:  

SOLUÇÃO:

Como se sabe, toda a equação do 2º grau apresenta sempre 2 Raízes ou Soluções.

Obtemos as soluções da equação utilizando a fórmula quadrática:

     

Identificados na equação do 2º grau "INTRODUÇÃO AOS NUMEROS COMPLEXOS" os valores dos coeficientes a, b, c, e conhecendo a fórmula aplicável para a sua resolução "Fórmula Quadrática", estamos em condições de resolver o exercício proposto. 

Os passos menos ilucidativos são auxiliados pelos respectivos cálculos auxiliares. Conforme anotado no exercício. 
São então substituidos na Fórmula Quadrática os valores dos coeficientes a, b e c.

Cálculo Auxilar:

DEFINIÇÕES:

Conjunto de Números Complexos (C) é o conjunto formado pelos pares  ordenados (x, y) de números reais para os quais: 

Graficamente, os eixos de representação das suas coordenadas x e y denominam-se: eixo de números reais(x) e eixo dos números imaginários(y). 

z  é complexo na forma ou algébrica ou binomial.

z  é complexo na forma de par ordenado.

Onde:

x - parte real de z

y - parte imaginária de z

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE COMPLEXOS Z(x,y) = Z(nºreal; nºimaginário)

Onde: a coordenada x = um número real
            a coordenada y = um número imaginário  

OPERAÇÕES ENTRE COMPLEXOS

EXEMPLOS

Considere os complexos Z1 e Z2, onde Z1 é número complexo na forma algébrica e Z2 é numero complexo na forma de par ordenado (uma coordenada cartesiana):

Z1 = 2 + 3i          e           Z2(-4;5)

 Determine:    Z1+Z2;         Z1.Z2;       7Z1-6Z2

O primeiro passo é passar Z2 para a forma algébrica, e assim conseguir efectuar as operaçoes acima proposta, então:

Z2 = (-4;5) = -4 + 5i

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA           Z1(2,3)        e          Z2(-4;5)

PROPRIEDADES:

Definição: O conjugado de um complexo 
Ex: 

Propriedade 1: A soma de 2 complexos conjugados é sempre um número real.

Propriedade 2: O produto de 2 complexos conjugados é sempre um número positivo.

Propriedade 3: O conjugado do conjugado , de um complexo, é o próprio complexo.

 
Propriedade 4: O conjugado da soma, é igual a soma dos conjugados.

Propriedade 5: O conjugado do produto, é igual ao produto dos conjugados.

Exercício c/ conjugados: Determinar      (Z pertence ao conjunto de números complexos) tal que: 

Solução 
Visto que:   

Verificação 
Conforme aprendemos em EQUAÇÕES dada uma equação qualquer, o valor da sua incógnita ou solução deverá satisfazer a igualdade prevista no problema.
Ou seja, a iguadade  correspondente ao dois termos da equação tem de ser verdadeira. Assim; substituindo o valor encontrado para o complexo Z, a igualdade:

Deverá ser verdadeira, dado que o valor encontrado de z = 2 + 3i com x=2 e y=3 verifiquemos:

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